Question

一艘船每小時(shí)的燃料費(fèi)與船的速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小時(shí)的燃料費(fèi)是80元．已知船航行時(shí)其他費(fèi)用為500元/時(shí)，在100km航程中，航速多少時(shí)船行駛總費(fèi)用最少？此時(shí)總費(fèi)用多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)與航速平方的比例系數(shù)為k，由條件求得k，設(shè)航速為xkm/h時(shí)，總費(fèi)用為y元，求得y=80x+

50000

x

，可由基本不等式或函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得到最小值．

解答： 解：設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)與航速平方的比例系數(shù)為k，則80=k×10²，
解得k=

4

5

，
設(shè)航速為xkm/h時(shí)，總費(fèi)用為y元，
則y=

4

5

x2×

100

x

+

100

x

×500=80x+

50000

x

．
（方法一）令y/=80-

50000

x2

=0，解得x=25（負(fù)值舍去），
當(dāng)0＜x＜25時(shí)，y′＜0，x＞25時(shí)，y′＞0，
∴x=25是極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
此時(shí)y=80×25+

50000

25

=4000（元）．
（方法二）∵x＞0，∴y≥2

80x× 50000 x

=4000（元），
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)80x=

50000

x

，解得x=25（負(fù)值舍去）．
答：航速為25km/h時(shí)，總費(fèi)用最少，此時(shí)總費(fèi)用為4000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值的應(yīng)用題，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，運(yùn)用基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．