Question

函數(shù)y=

1-(x+2)2

圖象上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成等比數(shù)列，則

1

2

，

3

3

，

3

2

，

3

，2這五個(gè)數(shù)中可以成為公比的數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可知，函數(shù)圖象為上半圓，根據(jù)圖象可得圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為1，最大距離為3．根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程，可計(jì)算出公比的范圍，從而判斷出結(jié)論．

解答： 解：∵y=

1-(x+2)2

，
∴（x+2）²+y²=1，（y≥0），對(duì)應(yīng)的圖象為圓心（-2，0），半徑r=1的上半圓．
則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為OA=1，最大值為OB=3，
若函數(shù)y=

1-(x+2)2

圖象上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成等比數(shù)列，
則不妨設(shè)a₁=1，則由題意可知a_n=3，n≥3，
則a_n=3=q^n-1，
則當(dāng)n=3時(shí)，q²=3，解得q=

3

，此時(shí)公比最大，
若a₁=3，則由題意可知a_n=1，n≥3，
則a_n=3q^n-1=1
則當(dāng)n=3時(shí)，q²=

1

3

，解得q=

3

3

，此時(shí)公比最小，
即滿足條件的公比的q滿足

3

3

≤q≤

3

，
則則

1

2

，

3

3

，

3

2

，

3

，2這五個(gè)數(shù)中可以成為公比的數(shù)為

3

3

，

3

2

，

3

共有三個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是等比關(guān)系的確定，主要考查等比數(shù)列的定義，等比中項(xiàng)以及函數(shù)作圖，屬于中檔題．