Question

若函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x，y∈R滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）證明：f（x）是奇凼數(shù)；
（2）判斷 f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過賦值法令x=x，y=-x即可獲得f（-x）與f（x）的關(guān)系，從而問題即可獲得求解；
（2）利用賦值法，通過函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，
令x=x，y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）
則f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=x₂，y=-x₁，且x₂＞x₁，f（x₂-x₁）＜0
則f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．