Question

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2．
（1）求該正四棱錐的體積V；
（2）設(shè)E為側(cè)棱PB的中點，求異面直線AE與PC所成角θ的大小．

Answer 1

解：（1）設(shè)O為底面正方形ABCD中心，則PO為該正四棱錐的高
正方形ABCD中，，
∴Rt△POA中，，
所以正四棱錐的體積為：． 
（2）設(shè)F為BC中點，連接EF、AF，
∵△PBC中，EF是中位線，∴EF∥PC
由此可得：異面直線AE與PC所成角θ等于AE、EC所成的銳角或直角
等邊三角形PAB中，邊長為2，所以，
△PBC中，EF=PC=1，
Rt△ABE中，AF==    ∴△AEF中，．
所以，異面直線AE與PC所成角．
分析：（1）根據(jù)題意，可得該四棱錐是側(cè)棱等于底面邊長的正四棱錐，由此不難求出它的高等于，結(jié)合錐體體積公式，可得該正四棱錐的體積V；
（2）設(shè)F為BC中點，連接EF、AF，可得EF∥PC，所以異面直線AE與PC所成角θ等于AE、EC所成的銳角或直角．在△AEF中求出各邊的長，利用余弦定理算出∠AEF的余弦值，即可得出直線AE與PC所成角θ的大小．
點評：本題給出底面邊長等于側(cè)棱長的正四棱錐，求四棱錐的體積并求異面直線所成的角，著重考查了異面直線及其所成的角、正棱錐的性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．