Question

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e＝，已知點(diǎn)P(0，)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

探究：它是解析幾何與代數(shù)中的最大值的綜合題．本題解答的關(guān)鍵是怎樣運(yùn)用“最遠(yuǎn)距離是”這個(gè)條件，可嘗試用兩點(diǎn)距離公式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問(wèn)題來(lái)解． 　　解：設(shè)所求橢圓方程為＝1(a＞b＞0)， 　　由e＝，得a＝2b，① 　　設(shè)橢圓上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離為d，則 　　x2＝，且 　　d2＝x2＋(y－)2＝＝－3y2－3y＋4b2＋＝－3(y＋)2＋4b2＋3其中－b≤y≤b． 　　如果b＜，則當(dāng)y＝－b時(shí)， 　　d2取得最大值()2＝(b＋)2 　　解得與b＜矛盾． 　　如果b≥，則當(dāng)y＝－時(shí)， 　　d2取得最大值()2＝4b2＋3，② 　　由①、②可得b＝1，a＝2． 　　所求橢圓方程為＝1， 　　由y＝－可得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)為(，－)，(，－)． 　　規(guī)律總結(jié)：本題是一道考查橢圓知識(shí)和函數(shù)最值的綜合性問(wèn)題，需要掌握全面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，在建立二次函數(shù)求最值時(shí)，要特別注意通過(guò)橢圓的范圍來(lái)確定自變量的取值范圍．