Question

中國籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）的總決賽采用七局四勝制．當(dāng)兩支實(shí)力水平相當(dāng)?shù)那蜿?duì)進(jìn)入總決賽時(shí)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，第一場比賽中組織者可獲票房收入3a萬元，以后每場比賽票房收入比上一場增加a萬元，當(dāng)兩隊(duì)決出勝負(fù)后，求：
（1）組織者至少可以獲得多少票房收入？
（2）決出勝負(fù)所需比賽場次的均值．
（3）組織者獲得票房收入不少于33a萬元的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得分出勝敗至少要4局，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得此時(shí)組織者可以獲得的票房為3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a），計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，要求的決出勝負(fù)所需比賽場次的均值就是變量決出勝負(fù)所需比賽場次的期望，可以設(shè)兩隊(duì)為甲隊(duì)、乙隊(duì)，再設(shè)決出勝負(fù)所需比賽場次的值為ξ，分析可得ξ可取的值為4、5、6、7，分別計(jì)算ξ=4、5、6、7時(shí)的概率，進(jìn)而由期望計(jì)算公式計(jì)算可得答案．
（3）進(jìn)行4場，5場，6場，7場比賽組織者可分別獲得票房收入為18a萬元，25a萬元，33a萬元，42a萬元，由（2）中分布列可得組織者獲得票房收入不少于33a萬元的概率

解答：解：（1）根據(jù)題意，采用七局四勝制，分出勝敗至少要4局，
則此時(shí)組織者可以獲得3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）=18a萬元，
即組織者至少可以獲得18a萬元的票房收入；
（2）根據(jù)題意，兩支球隊(duì)的實(shí)力水平相當(dāng)?shù)那蜿?duì)，設(shè)兩隊(duì)為甲隊(duì)、乙隊(duì)，且甲隊(duì)、乙隊(duì)每局取勝的概率為

1

2

；
設(shè)決出勝負(fù)所需比賽場次的值為ξ，則ξ可取的值為4、5、6、7，
ξ=4，即4局分出勝負(fù)，包括甲連勝4局與乙連勝4局兩種情況，
則P（ξ=4）=2×（

1

2

）⁴=

1

8

；
ξ=5，即5局分出勝負(fù)，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₄³×（

1

2

）⁴×

1

2

=

1

8

，同理乙取勝的概率為

1

8

，
則P（ξ=5）=2×

1

8

=

1

4

，
ξ=6，即6局分出勝負(fù)，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₅³×（

1

2

）⁵×

1

2

=

5

32

，同理乙取勝的概率為

5

32

，
則P（ξ=6）=2×

5

32

=

5

16

，
ξ=7，即7局分出勝負(fù)，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₆³×（

1

2

）⁶×

1

2

=

5

32

，同理乙取勝的概率為

5

32

，
則P（ξ=7）=2×

5

32

=

5

16

，
決出勝負(fù)所需比賽場次的均值為4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

；
故決出勝負(fù)所需比賽場次的均值為

93

16

．
（3）進(jìn)行4場，5場，6場，7場比賽組織者可分別獲得票房收入為
18a萬元，25a萬元，33a萬元，42a萬元，
故票房收入不少于33a萬元的概率P=

5

16

+

5

16

=

5

8

點(diǎn)評：本題考查離散變量的期望的計(jì)算，注意（2）中要求的決出勝負(fù)所需比賽場次的均值就是變量決出勝負(fù)所需比賽場次的期望．