Question

圓柱的高為4cm，底面半徑為3cm，上底面一條半徑OA與下底面一條半徑O′B′成60°角，求：
（1）直線AB′與圓柱的軸OO′所成的角（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）直線AB′與平面OAA′O′所成角的大��；
（3）點(diǎn)A沿圓柱側(cè)面到達(dá)點(diǎn)B′的最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題,異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由OO′∥AA′，得∠B′AA′是所求異面直線AB′與OO′所成角或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線AB′與OO′所成角的大小．
（2）過(guò)B′作B′H⊥O′A′于點(diǎn)H，由已知得∠B′AH即為所求的線面角，由此能求出直線AB′與平面OAA′O′所成角的大�。�
（3）將圓柱的側(cè)面沿過(guò)B ′  的母線展開(kāi)，與AA′構(gòu)成以π為長(zhǎng)4為寬的矩形，|

AB′

|_min即為此矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，由此能求出點(diǎn)A沿圓柱側(cè)面到達(dá)點(diǎn)B′的最短距離．

解答： 解：（1）∵OO′∥AA′，
∴∠B′AA′是所求異面直線AB′與OO′所成角或其補(bǔ)角，
由題意知△OA′B′為等邊三角形，且AA′⊥A′B′，
∴|A′B′|=3，|AA′|=4，
即∠B′AA′=arctan

3

4

，
∴異面直線AB′與OO′所成角的大小為arctan

3

4

．
（2）過(guò)B′作B′H⊥O′A′與點(diǎn)H，
則B′H⊥O′A′，B′H⊥AA′，
∴B′H⊥平面OAA′O′，
∴AH為直線AB′在平面OAA′O′上的射影，
∴∠B′AH即為所求的線面角，
∵B′H=

3 3

2

，AA′=5，
∴∠B′AH=arcsin

3 3

10

，
∴直線AB′與平面OAA′O′所成角的大小為arcsin

3 3

10

．
（3）將圓柱的側(cè)面沿過(guò)B ′  的母線展開(kāi)，
與AA′構(gòu)成以π為長(zhǎng)4為寬的矩形，
|

AB′

|_min即為此矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，
∴|

AB′

|_min=

16+π2

，
故點(diǎn)A沿圓柱側(cè)面到達(dá)點(diǎn)B′的最短距離為

16+π2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法，考查直線與平面所成的角的求法，考查點(diǎn)A沿圓柱側(cè)面到達(dá)點(diǎn)B′的最短距離的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．