已知函數(shù),把函數(shù)g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的前n項的和,則=( )
A. B. C.45 D.55
C
【解析】解:當0<x≤1時,有-1<x-1<0,則f(x)=f(x-1)+1=2x-1,
當1<x≤2時,有0<x-1≤1,則f(x)=f(x-1)+1=2x-2+1,
當2<x≤3時,有1<x-1≤2,則f(x)=f(x-1)+1=2x-3+2,
當3<x≤4時,有2<x-1≤3,則f(x)=f(x-1)+1=2x-4+3,
以此類推,當n<x≤n+1(其中n∈N)時,則f(x)=f(x-1)+1=2x-n-1+n,
所以,函數(shù)f(x)=2x的圖象與直線y=x+1的交點為:(0,1)和(1,2),
由于指數(shù)函數(shù)f(x)=2x為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個交點.
然后:
①將函數(shù)f(x)=2x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位,即得到函數(shù)f(x)=2x-1和y=x的圖象,
取x≤0的部分,可見它們有且僅有一個交點(0,0).
x≤0時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=0.
②、僦泻瘮(shù)f(x)=2x-1和y=x圖象-1<x≤0的部分,再同時向上和向右各平移一個單位,
即得f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的圖象,此時它們?nèi)匀恢挥幸粋交點(1,1).
即當0<x≤1時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=1.
③取②中函數(shù)f(x)=2x-1和y=x在0<x≤1上的圖象,繼續(xù)按照上述步驟進行,
即得到f(x)=2x-2+1和y=x在1<x≤2上的圖象,此時它們?nèi)匀恢挥幸粋交點(2,2).
即當1<x≤2時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=2.
④以此類推,函數(shù)y=f(x)與y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交點依次為(3,3),(4,4),…
(n+1,n+1).
即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次為3,4,…,n+1.
綜上所述方程f(x)-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為:
0,1,2,3,4,…,
其通項公式為:an=n-1,前n項的和為 Sn=(n-1)•n /2 ,
∴S10=45,
故選C.
科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省高三下學期二調(diào)考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),把函數(shù)g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的前n項的和,則=( )
A. B. C.45 D.55
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省高三下學期二調(diào)考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),把函數(shù)g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的前n項的和,則=( )
A. B. C.45 D.55
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江西省高三4月模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),把函數(shù)g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的前n項的和,則=( )
A. B. C.45 D.55
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年河南省鄭州大學附中高三(上)第三次月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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