Question

已知函數(shù)f（x）=mlnx+

m

2

x2-x（m≠0）
（1）若函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為1，求m的值
（2）若函數(shù)在[1，+∞）單調(diào)遞增，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得m的方程，解得即可；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在[1，+∞）單調(diào)遞增，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求得右邊的最大值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=mlnx+

m

2

x2-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

m

x

+mx-1，
則有函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為2m-1=1，
解得m=1；
（2）由于f′（x）=

m

x

+mx-1，
又函數(shù)在[1，+∞）單調(diào)遞增，
即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
即有m（x+

1

x

）≥1即m≥

1

x+ 1 x

在[1，+∞）恒成立．
由x≥1，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得最小值2，
則有0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
故m≥

1

2

．
即有m的范圍為[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和判斷單調(diào)性，主要導(dǎo)數(shù)的幾何意義和基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用參數(shù)分離和將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵．