Question

當(dāng)不等式組

x≥0 y≥0 kx-y+2-k≥0(k＜0)

所表示的平面區(qū)域的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、-1
• D、-2

Answer 1

分析：由于不等式組所表示的平面區(qū)域由三條直線(xiàn)圍成，其中直線(xiàn)kx-y+2-k=0（k＜0）即y-2=k（x-1）（k＜0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，2），
因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，2）的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積的最小值．

解答：解：由于不等式組所表示的平面區(qū)域由三條直線(xiàn)圍成，其中直線(xiàn)kx-y+2-k=0（k＜0）即y-2=k（x-1）（k＜0）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，2），
因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，2）的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積的最小值．
如圖所示，設(shè)所圍成的區(qū)域的面積為S，則S=

1

2

•|OA|•|OB|=

1

2

•|2-k|•|1-

2

k

|．
因?yàn)閗＜0，
所以-k＞0，
所以S=

1

2

（4-k-

4

k

）=

1

2

[4+（-k）+（-

4

k

）]≥

1

2

[4+2

(-4)(- 4 k )

]=4，
當(dāng)S取得最小值4時(shí)，-k=-

4

k

，解得k=-2．

故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了不等式組表示平面區(qū)域，還考查了直線(xiàn)的方程及三角形的面積公式和均值不等式求函數(shù)的最值．