Question

（2012•德州一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n．
（I）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，由此利用構(gòu)造法能夠證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（Ⅱ）由an=2n+1-2，得

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：（I）證明：由S_n+2n=2a_n，得S_n=2a_n-2n，
當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴an+2=4•2n-1，
∴an=2n+1-2．
（Ⅱ）解：∵an=2n+1-2，
∴b_n=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．