已知橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
3
2
)
三點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過定點F(-
3
,0)
作直線l與橢圓E交于M、N兩點,求△OMN的面積S的最大值及此時直線l的方程.
分析:(1)由于不清楚橢圓焦點在哪條坐標軸上,所以設其方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),然后把點A、C的坐標代入解之即可;
(2)首先把直線按有無斜率進行分類,當l⊥x軸時,易于求得△OMN的面積S;當l的斜率存在時,設出l的點斜式方程,然后與橢圓方程聯(lián)立方程組,并消去y得關于x的一元二次方程,再由韋達定理用k的代數(shù)式表示出x1+x2與x1x2,則過焦點的弦MN及原點O到直線l的距離d均可由k的代數(shù)式表示出來,此時△OMN的面積S可得,進一步運用均值不等式求三角形面積S的最大值,最后比較兩種情況下的S進而得出答案.
解答:解:(1)設橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),
將A(-2,0)、C(1,
3
2
)
代入,得
4m=1
m+
3
4
n=1
?
m=
1
4
n=1

∴橢圓E的方程為
x2
4
+y2=1

(2)當l⊥x軸時,l:x=-
3
,易得|MN|=1,則S=
1
2
×1×
3
=
3
2

當l的斜率存在時,設l:y=k(x+
3
)
,代入橢圓方程x2+4y2=4,得(1+4k2)x2+8
3
k2x+4(3k2-1)=0
,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
8
3
k2
1+4k2
,x1x2=
4(3k2-1)
1+4k2

F(-
3
,0)
為橢圓E的左焦點,且橢圓中a=2,e=
3
2
,
|MN|=|MF|+|NF|=(a+ex1)+(a+ex2)=4+
3
2
(x1+x2)=
4(1+k2)
1+4k2

又原點O到直線l的距離d=
3
|k|
1+k2
,
S=
1
2
|MN|•d=2
3
|k|•
1+k2
1+4k2
=
2
3k2•(1+k2)
1+4k2
3k2+(1+k2)
1+4k2
=1

上式等號當且僅當3k2=1+k2,即k=±
2
2
時成立.
綜上,△OMN的面積S的最大值為1,此時直線l的方程為y=±
2
2
(x+
3
)
2
y+
3
=0
點評:本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程以及直線和圓錐曲線的位置關系,綜合性強,字母運算能力是一大考驗,靈活運用均值不等式求三角形面積的最值是一大難點.
練習冊系列答案
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已知橢圓E的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過A(-2,0),B(2,0),C(1,
32
)
三點
(1)求橢圓方程
(2)若此橢圓的左、右焦點F1、F2,過F1作直線L交橢圓于M、N兩點,使之構成△MNF2證明:△MNF2的周長為定值.

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已知橢圓E的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(1)求橢圓E的方程:
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當△DFH內切圓的面積最大時.求內切圓圓心的坐標.

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(2013•閔行區(qū)二模)已知橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過M(2,1),N(2
2
,0)
兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,直線MA與MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.

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已知橢圓E的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當△DFH內切圓的面積最大時,求內切圓圓心的坐標;
(3)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程.

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已知橢圓E的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過M(2,1)、N(2
2
,0)
兩點,P是E上的動點.
(1)求|OP|的最大值;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,求證:直線MA與直線MB的傾斜角互補.

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