上海某玩具廠生產(chǎn)x萬套世博會(huì)吉祥物海寶所需成本費(fèi)用為P元,且P=1000+5x+
1
10
x2,x∈(0,200]
,而每萬套售出價(jià)格為Q元,其中Q=
a
x
+b,(a>5000
,b>5),問:
(1)該玩具廠生產(chǎn)多少萬套吉祥物時(shí),使得每萬套成本費(fèi)用最低?
(2)若產(chǎn)出的吉祥物能全部售出,問產(chǎn)量多大時(shí),廠家所獲利潤最大?
分析:(1)
P
x
=
1000+5x+
1
10
x2
x
=
1000
x
+
x
10
+5≥25
(當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí),取等號(hào)),由此能求出該玩具廠生產(chǎn)多少萬套吉祥物時(shí),使得每萬套成本費(fèi)用最低.
(2)利潤f(x)=(
a
x
+b)x-(1000+5x+
1
10
x2)=-
1
10
x2+(b-5)x+a-1000
,x∈(0,200],由此能求出廠家所獲利潤最大時(shí)的產(chǎn)量.
解答:解:(1)由題設(shè)知:
P
x
=
1000+5x+
1
10
x2
x
(3分)
=
1000
x
+
x
10
+5≥25
(當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí),取等號(hào))
∴生產(chǎn)100萬套時(shí),每萬套成本費(fèi)用最低.(6分)
(2)由題設(shè),利潤f(x)=(
a
x
+b)x-(1000+5x+
1
10
x2)=-
1
10
x2+(b-5)x+a-1000
,x∈(0,200](9分)
當(dāng)5(b-5)≤200,即b≤45時(shí),
fmax(x)=f[5(b-5)]=
5
2
(b-5)2+a-1000

∴當(dāng)產(chǎn)量為5b-25萬套時(shí),利潤最大(12分)
當(dāng)b>45時(shí),函數(shù)f(x)在(0,200]上是增函數(shù),
∴當(dāng)產(chǎn)量為200萬套時(shí),fmax(x)=200b+a-6000.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)分析數(shù)量間的相互關(guān)系,合理地選擇數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解題.
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