Question

已知A、B、C為銳角△ABC的三個內角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA）與

n

=（sinA-cosA，1+sinA）共線．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求角B的取值范圍
（Ⅲ）求函數(shù)y=2sin²B+cos

C-3B

2

的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，以及兩向量共線，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關系式，整理求出sinA的值，即可確定出角A的大�。�
（Ⅱ）由A的度數(shù)，以及三角形為銳角三角形，確定出角B的取值范圍即可；
（Ⅲ）由A的度數(shù)求出B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入原式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，根據這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域，即可確定出所求式子的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由題設知：（2-2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（sinA-cosA），
得2（1-sin²A）=sin²A-cos²A=2sin²A-1，即sinA=

3

2

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及題設知：

B+C=π-A= 2π 3 0＜B＜ π 2 0＜C＜ π 2

，
整理得：

0＜B＜ π 2 0＜ 2π 3 -B＜ π 2

，即

0＜B＜ π 2 π 6 ＜B＜ 2π 3

，
解得：

π

6

＜B＜

π

2

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）及題設知：y=2sin²B+cos

2 3 π-B-3B

2

=1-cos2B+cos（

π

3

-2B）=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin（2B-

π

6

），
由（Ⅱ）知：

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，即

3

2

＜1+sin（2B-

π

6

）≤2，
則函數(shù)y=2sin²B+cos

C-2B

2

的值域為（

3

2

，2]．

點評：此題考查了余弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．