Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2c-b）cosA=acosB．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理和三角函數(shù)公式可得cosA=

1

2

，可得A=

π

3

；
（2）由余弦定理結合基本不等式可得16=b²+c²-bc≥2bdc-bc，可得bc的最大值為16，進而可得△ABC的面積的最大值．

解答： 解：（1）∵（2c-b）cosA=acosB，
∴由正弦定理可得（2sinA-sinB）cosA=sinAcosB，
變形可得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C為三角形的內角，sinC≠0，∴cosA=

1

2

，A=

π

3

；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入數(shù)據(jù)可得16=b²+c²-bc≥2bdc-bc，∴bc≤16
當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤4

3

，
當且僅當b=c時取等號，
∴△ABC的面積的最大值為4

3

點評：本題考查正余弦定理，涉及基本不等式求最值，屬比較基礎題．