已知函數(shù)f(x)=
x
1
3
-x-
1
3
5
，g(x)=
x
1
3
+x-
1
3
5
；
（Ⅰ）證明f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）分別計算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函數(shù)f（x）和g（x）的對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明．
分析：（I）先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可得到答案．
（II）任取x1＜x2＜-1，作差判斷f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義易得到結(jié)論；
（III）將4與2，9與3分別代入函數(shù)f(x)=
x
1
3
-x-
1
3
5
，g(x)=
x
1
3
+x-
1
3
5
及得到結(jié)論，歸納后可得結(jié)論，由函數(shù)的解析式，不難對結(jié)論進行證明．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），是關(guān)于原點對稱的；
又f(-x)=
(-x)
1
3
-(-x)-
1
3
5
=
-x
1
3
+x-
1
3
5
=-f(x)
∴f（x）是奇函數(shù)．（4分）
（Ⅱ）設x1＜x2＜-1，則：f(x1)-f(x2)═
1
5
(x1
1
3
-x2
1
3
)(1+
1
x1
1
3
•x2
1
3
)，
∵x
1
3
-x2
1
3
＜0，
1
x1x2
＞0，(
1
x1x2
)
1
3
＞01+
1
x1
1
3
•x2
1
3
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2）且x1＜x2
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增．（8分）
（Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出對所有不等于零的實數(shù)x都成立的等式是：f（x2）-5f（x）•g（x）=0（12分）
下面給予證明：∵f（x2）-5f（x）•g（x）=
x
2
3
-x-
2
3
5
-5•
x
1
3
-x-
1
3
5
•
x
1
3
+x-
1
3
5

=
1
5
(x
2
3
-x-
2
3
)-
1
5
(x
2
3
-x-
2
3
)=0
∴f（x2）-5f（x）•g（x）=0對所有不等于零的實數(shù)x都成立．（14分）
點評：本題考查的知識點為函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及歸納推理，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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