Question

已知數(shù)列{a_n}是首項a₁＞1，公比q＞0的等比數(shù)列．設(shè)b_n=log₂a_n（n∈N^*），且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}的前n項和為S_n，求當(dāng)

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大時n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，利用等比數(shù)列的通項公式與對數(shù)的運算性質(zhì)，判斷分析后可得q=

1

2

，a₁=16，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n=log225-n=5-n，易知，{b_n}是首項為4，公差為-1的等差數(shù)列，從而可求得S_n=

9n-n2

2

，

Sn

n

=

9-n

2

，繼而可知{

Sn

n

}是首項為4，公差為-

1

2

的等差數(shù)列，從而可求得

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）b₁+b₃+b₅=log₂（a₁a₃a₅）=log2(a13q6)=6⇒a13q⁶=2⁶⇒a₁q²=4，
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁≠0，
又b₁b₃b₅=0，若b₃=0，則log₂a₃=log2(a1q2)=0，即a₁q²=0，這與a₁q²=4矛盾，
故b₅=log2(a1q4)=0⇒a₁q⁴=1．
∴q²=

1

4

，q=

1

2

，a₁=16．
∴a_n=16•(

1

2

)n-1=2^5-n．
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log225-n=5-n，∴{b_n}是首項為4，公差為-1的等差數(shù)列，
∴S_n=

9n-n2

2

，

Sn

n

=

9-n

2

．
故{

Sn

n

}是首項為4，公差為-

1

2

的等差數(shù)列．∵n≤8時，

Sn

n

＞0；
n=9時，

Sn

n

=0； n＞9時，

Sn

n

＜0．故當(dāng)n=8或n=9時，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定，求得a_n=2^5-n是關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．