Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²+mx，h（x）=e^x-1，若在（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使得g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f′（x）=，
∴由f′（x）＞0得：0＜x＜2；
由f′（x）＜0得：x＜0或x＞2；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）在（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使得g（x₀）＞h（x₀）成立，即不等式g（x）＞h（x）在（0，+∞）有解，
即：m＞（x＞0）有解，
記φ（x）=（x＞0），則m＞φ（x）_min，
φ′（x）==，
令t（x）=e^x-x-1，t′（x）=e^x-1，
∵x＞0，
∴e^x＞1，
∴t′（x）＞0，
∴t（x）＞t（0）=0，
∴φ（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴m的取值范圍是（e-2，+∞）．
分析：（Ⅰ）可求得f′（x），令f′（x）＞0可求得其單調(diào)遞增區(qū)間，由f′（x）＜0可求得其單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）依題意，m＞（x＞0）有解，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=（x＞0），問題轉(zhuǎn)化為m＞φ（x）_min即可，利用φ′（x）可求得φ（x）_min，從而可得m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)思想及分析運(yùn)算能力，屬于難題．