Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）對任意非零實數(shù)x₁、x₂滿足f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）證明：f（1）=f（-1）=0；
（2）證明：f（x）是偶函數(shù)；
（3）已知f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（x）+f（

x-1

2

）＜0，求x的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1求得f（1）=0，f（-1）=0即可；
（2）由（1）得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），從而得到f（x）為偶函數(shù)；
（3）由函數(shù)為偶函數(shù)，得到f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，構(gòu)造不等式組，解得即可

解答： 解：（1）分別令x₁=x₂=1，x₁=x₂=-1代入可得f（1）=0，f（-1）=0
∴f（1）=f（-1）=0
（2）∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)
（3）∵f（x）為偶函數(shù)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
∵f（x）+f（

x-1

2

）＜0，
∴f[x•

1

2

（x-1）]=f[

1

2

（x²-x）]＜0=f（1）=f（-1），
∴

x• 1 2 (x-1)≠0 x• 1 2 (x-1)＜1 x• 1 2 (x-1)＞-1

∴-1＜x＜2，且x≠0，x≠1，
∴x的范圍為（-1，0）∪（0，1）∪（1，2）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題