Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x都有f（x+1）+f（x）=1，且當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=|x-1|．
（1）當(dāng)x∈[2k，2k+2]（k∈Z）時，求f（x）的表達(dá)式．
（2）證明f（x）是偶函數(shù)．
（3）試問方程是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)；若沒有實數(shù)根，請說明理由．

Answer 1

解：（1）對任意實數(shù)x，滿足f（x）=1-f（x+1）=1-[1-f（x+2）]=f（x+2）=1-f（x+3）=1-[1-f（x+4）]=f（x+4）=…，
也就是有f（x）=f（x+2T），其中T屬于z．即f（x）是一個周期為2的周期函數(shù)．
對于任意x屬于[2k，2k+2]，有x-2k屬于[0，2]，則
f（x）=f（x-2k）=|（x-2k）-1|=|x-2k-1|
所以，x∈[2k，2k+2]（k∈Z）時，f（x）=|x-2k-1|
f（x）=|x-2k-1|（2k≤x≤2k+2，k∈Z）
（2）由（1）可知函數(shù)是個周期為2的周期函數(shù)，
可將f（x）通式寫為f（x）=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]
取x∈[2k，2k+2]則-x∈[-2k-2，-2k]
那么：f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|
=|x-2k-1|=f（x） 所以是偶函數(shù)．
（3）方程化為f（x）=log₄ x，
log₄ x=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]，如圖

x=4時方程有一個根，x＞4時，方程無根，
方程在[1，4]上有3個實根．
分析：（1）推出函數(shù)的周期，通過當(dāng)x∈[2k，2k+2]（k∈Z）時，利用已知函數(shù)的表達(dá)式，直接求f（x）的表達(dá)式．
（2）利用（1）通過f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|=|x-2k-1|=f（x） 證明f（x）是偶函數(shù)．
（3）化簡方程，構(gòu)造兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，即可判斷方程是否有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)．
點評：本題是中檔題，函數(shù)解析式的求法，偶函數(shù)的判斷，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查計算能力，作圖能力．