Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F₂，點F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q且．
（I）求點T的橫坐標(biāo)x₀；
（II）若以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓C過點．
①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②過點F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)，若的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，

由題意得F₂（1，0），F(xiàn)₁（-1，0），設(shè)P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），
則，．
由，
得，即 ①
又P（x₀，y₀）在拋物線上，則 ②
聯(lián)立①、②得，，解得：x₀=2．
所以點T的橫坐標(biāo)x₀=2．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)橢圓的半焦距為c，由題意得c=1，
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因橢圓C過點，
則 ③
又a²=b²+1 ④
將④代入③，解得b²=1或（舍去）
所以a²=b²+1=2．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（ⅱ）1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，即λ=-1時，，，
又T（2，0），所以；
2）當(dāng)直線l的斜率存在時，即λ∈[-2，-1）時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），顯然y₁≠0，y₂≠0，則由根與系數(shù)的關(guān)系，
可得：，．
⑤
⑥
因為，所以，且λ＜0．
將⑤式平方除以⑥式得：
由λ∈[-2，-1），得，即．
故，解得．
因為，所以，
又，
故
=．
令，因為，所以，即，
所以．
所以
綜上所述：．
分析：（Ⅰ）由題意得到F₁和F₂的坐標(biāo)，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，然后直接利用進(jìn)行求解；
（Ⅱ）①設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓過點，結(jié)合a²=b²+1 即可求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
②當(dāng)直線斜率不存在時，直接求解A，B的坐標(biāo)得到的值，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后，利用，消掉點的坐標(biāo)得到λ與k的關(guān)系，根據(jù)λ的范圍求k的范圍，然后把轉(zhuǎn)化為含有k的函數(shù)式，最后利用基本不等式求出的取值范圍．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的運算，考查了分類討論的數(shù)學(xué)解題思想，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計算能力，是難度較大的題目．