設(shè)函數(shù)f(x)=asin2x-bsin2x+c(x∈R)的圖象過點P(0,1),且f(x)的最大值是2,最小值為-2,其中a>0.
(1)求f(x)表達(dá)式;
(2)若射線y=2(x≥0)與f(x)圖象交點的橫坐標(biāo),由小到大依次為x1,x2,x3,…,xn,…求|xn+2-x2|的值,并求S=x1+x2+…+x10的值.
分析:(1)由f(0)=1可求c值,f(x)可化為f(x)=
a2+
1
4
b2
sin(2x+?)+1-
b
2
,從而可得其最大值、最小值,分別令其為2,-2可得方程組,解出a,b即可;
(2)易知f(xn)=2(n∈N+),可得2xn+
π
6
=2kπ+
π
2
(k≥0,k∈Z)
,從而求得xn,可判斷該數(shù)列為等差數(shù)列,從而可得答案;
解答:解:(1)∵f(0)=1,∴c=1,
f(x)=asin2x-
b
2
(1-cos2x)+1
=
a2+
1
4
b2
sin(2x+?)+1-
b
2
,
a2+
1
4
b2
+1-
b
2
=2
-
a2+
1
4
b2
+1-
b
2
=-2
而a>0
,解
a=
3
b=2

f(x)=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)
;
(2)由題意,知f(xn)=2(n∈N+),即2xn+
π
6
=2kπ+
π
2
(k≥0,k∈Z)
,
xn=kπ+
π
6
(k=0,1,2…)
,所以{xn}是以x1=
π
6
,公差d=π的等差數(shù)列,
∴|xn+2-x2|=nπ,S=x1+x2+…+x10=
x1+x10
2
•10=5(
π
6
+9π+
π
6
)=
140
3
π.
點評:本題考查三角函數(shù)與數(shù)列的綜合,考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,當(dāng)x<0時f(x)>1,且對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).?dāng)?shù)列{an}滿足f(an+1)=
1f(-2-an)
(n∈N*
(Ⅰ)求f(0)的值,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得點(t,as)、(s,at)都在直線y=kx-1上,試判斷是否存在自然數(shù)M,當(dāng)n>M時,a n>f(0)恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,請說明理由.

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1
f(-2-an)
(n∈N*)

(Ⅰ)求f(0)的值,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得點(t,as)、(s,at)都在直線y=kx-1上,試判斷是否存在自然數(shù)M,當(dāng)n>M時,an>0恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)若a1=f(0),不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
12
35
(1+logf(1)x)
對不小于2的正整數(shù)恒成立,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
3x-1
x+1

(1)已知s=-t+
1
2
(t>1),求證:f(
t-1
t
)=
s+1
s
;
(2)證明:存在函數(shù)t=φ(s)=as+b(s>0),滿足f(
s+1
s
)=
t-1
t
;
(3)設(shè)x1=
11
17
,xn+1=f(xn),n=1,2,….問:數(shù)列{
1
xn-1
}是否為等差數(shù)列?若是,求出數(shù)列{xn}中最大項的值;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省惠州一中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,當(dāng)x<0時f(x)>1,且對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).?dāng)?shù)列{an}滿足f(an+1)=(n∈N*
(Ⅰ)求f(0)的值,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得點(t,as)、(s,at)都在直線y=kx-1上,試判斷是否存在自然數(shù)M,當(dāng)n>M時,a n>f(0)恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省惠州一中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,當(dāng)x<0時f(x)>1,且對任意的實數(shù)x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).?dāng)?shù)列{an}滿足
(Ⅰ)求f(0)的值,判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
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