Question

把邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長為xcm的相等的正方形，然后折成一個高度為xcm的無蓋的長方體的盒子，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)k（k＞0），
（1）用x和k表示出長方體的體積的表達(dá)式V=V（x），并給出函數(shù)的定義域；
（2）問x取何值時，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)長方體高為xcm，則底面邊長為（60-2x）cm，（0＜x＜30），從而可得長方體容積的函數(shù)表達(dá)式，利用長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)k（k＞0），可求函數(shù)定義域；
（2）對（1）中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)，確定函數(shù)的極值點，結(jié)合函數(shù)的定義域，分類求出V的最大值．

解答：解：（1）設(shè)長方體高為xcm，則底面邊長為（60-2x）cm，（0＜x＜30），
所以長方體容積V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²；…（4分）
∵

x

60-2x

≤k，∴0＜x≤

60k

2k+1

．
即函數(shù)定義域為(0，

60k

2k+1

]，…（6分）
（2）V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合題意舍去）于是     …（8分）

x	（0，10）	10	（10，30）
V'（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

①當(dāng)10≤

60k

2k+1

，即k≥

1

4

時，在x=10時，V取得最大值為V_max=40•20²=16000；                  …（10分）
②當(dāng)

60

2k+1

＜10，即0＜k＜

1

4

時，在x=

60k

2k+1

時，V取得最大值Vmax=

216000k

(2k+1)3

．…（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的關(guān)鍵，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用長方體的條件公式求出函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值，注意分類討論．