Question

（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C₁的參數方程為

x=4+5cost y=5+5sint

（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的參數方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）求C₁與C₂交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析：（Ⅰ）對于曲線C₁利用三角函數的平方關系式sin²t+cos²t=1即可得到圓C₁的普通方程；再利用極坐標與直角坐標的互化公式即可得到C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）先求出曲線C₂的極坐標方程；再將兩圓的方程聯立求出其交點坐標，最后再利用極坐標與直角坐標的互化公式即可求出C₁與C₂交點的極坐標．

解答：解：（I）曲線C₁的參數方程式

x=4+5cost y=5+5sint

（t為參數），
得（x-4）²+（y-5）²=25即為圓C₁的普通方程，
即x²+y²-8x-10y+16=0．
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．
∴ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0，此即為C₁的極坐標方程；
（II）曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ化為極坐標方程為：x²+y²-2y=0，
由

x2+y2-8x-10y+16=0 x2+y2-2y=0

，解得

x=1 y=1

或

x=0 y=2

．
∴C₁與C₂交點的極坐標分別為（

2

，

π

4

），（2，

π

2

）．

點評：本題主要考查了參數方程化成普通方程，點的極坐標和直角坐標的互化．熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、兩圓的位置關系是解題的關鍵．