Question

設(shè)函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且滿足：對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2，問：實數(shù)k為何值時，存在t＞2，使得f（klog₂t）+f[（log₂t）²-log₂t-2]＜0？

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，即可證明函數(shù)為奇函數(shù)和單調(diào)遞增函數(shù)，再利用換元法，原不等式轉(zhuǎn)化為kx＜-x²+x+2，分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：∵令x=y=0，
則f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
∵f（1）=2＞f（0），函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)
∴函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
令y=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵f（klog₂t）+f[（log₂t）²-log₂t-2]＜0，
∴f（klog₂t）＜-f（log₂²t-log₂t-2）=f（-log₂²t+log₂t+2），
令x=log₂t，（x＞1）則原不等式可化為：f（kx）＜f（-x²+x+2）
∵函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴kx＜-x²+x+2，
∴k＜-x+

2

x

+1
設(shè)g（x）=-x+

2

x

+1，x＞1
∵g（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=-1+2+1=2，
∴k＜2
故k的取值范圍為（-∞，2）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．