精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),設(shè)AE=x(0<x<2).
(Ⅰ)證明:A1D⊥D1E;
(Ⅱ)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面ACD1的距離;
(Ⅲ)x為何值時(shí),二面角D1-EC=D=的大小為45°.
分析:法一:
(Ⅰ)由AE⊥平面AA1DD1,A1D?平面AA1DD1,知A1D⊥AE,再由AA1DD1為正方形,利用直線與平面垂直的性質(zhì),能夠證明A1D⊥D1E.
(Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h,在△ACD1中,AC=CD1=5
,AD1=2
,先求出△AD1C和△ACE的面積,再求出三棱錐D1-AEC的體積,由此能夠求出點(diǎn)E到面ACD1的距離.
(Ⅲ) 過D作DH⊥CE于H,連D1H,則D1H⊥CE,則∠DHD1為二面角D1-EC-D的平面角,由此能求出二面角D1-EC-D的大小為45°時(shí)x的取值.
法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A (1,0,0),C(0,2,0),利用向量法進(jìn)行求解.解答:
(本小題滿分14分)
解法一:
(Ⅰ) 證明:∵AE⊥平面AA1DD1,
A1D?平面AA1DD1,
∴A1D⊥AE,…(1分)
AA1DD1為正方形,
∴A1D⊥AD1,…(2分)
又A1D∩AE=A,∴A1D⊥平面AD1E,…(3分)
∴A1D⊥D1E.…(4分)
(Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h,在△ACD1中,AC=CD1=5
,AD1=2
,
故S△AD1C=1 2
×2
×5-1 2
=3 2
,而S△ACE=1 2
×AE×BC=1 2
,…(6分)
∴VD1-AEC=1 3
S△AEC×DD1=1 3
S△AD1C×h,…(8分)
即 1 2
×1=3 2
×h,從而h=1 3
,所以點(diǎn)E到面ACD1的距離為1 3
.…(9分)
(Ⅲ) 過D作DH⊥CE于H,連D1H,則D1H⊥CE,
∴∠DHD1為二面角D1-EC-D的平面角,∴∠DHD1=450.…(11分)
∵D1D=1,∴DH=1,又DC=2,∴∠DCH=30°,…(12分)
∴∠ECB=60°,又BC=1,在Rt△EBC中,得EB=3
,…(13分)
∴AE=2-3
,∴x=2-3
時(shí),二面角D1-EC-D的大小為450.…(14分)
解法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A (1,0,0),C(0,2,0),…(2分)
(Ⅰ)DA1
=(1,0,1),D1E
=(1,x,-1),
因?yàn)?span id="nsyh0q1" class="MathJye">DA1
•D1A
=(1,0,1)×(1,x,-1)=0,所以DA1
⊥D1E
,…(6分)
(Ⅱ)由E為AB的中點(diǎn),有E(1,1,0),從而D1E
=(1,1,-1),AC
=(-1,2,0),
AD1
=(-1,0,1),設(shè)平面ACD1的法向量為n
=(a,b,c),則n
•AC
=0n
•AD1
=0
,
也即-a+2b=0 -a+c=0
,得a=2b a=c
,從而n
=(2,1,2),…(8分)
所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h=|D1E
×n
| |n
|
=2+1-2 3
=1 3
.…(10分)
(Ⅲ) 顯然DD1
是平面AECD的一個(gè)法向量.設(shè)平面D1EC的法向量為n
=(a,b,c),
∴CE
=(1,x-2,0),D1C
=(0,2,-1),DD1
=(0,0,1),
由n
•D1C
=0n
•CE
=0
⇒2b-c=0 a+b(x-2)=0
,令b=1,∴c=2,a=2-x,
∴n
=(2-x,1,2)…(12分)
依題意cosπ 4
=|n
•DD1
| |n
|×|DD1
|
=2
2
⇒2 (x-2)2+5
=2
2
.
∴x1=2+3
(不合題意,舍去),x2=2-3
.
∴x=2-3
時(shí),二面角D1-EC-D的大小為450.…(14分)點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明、點(diǎn)到平面的距離、求二面角的大�。忸}時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用.
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B.πbc2+a2
C.πca2+b2
D.πabc
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若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)n面體的直度為
.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,四面體A1-ABC的直度為( ) ![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/1898/img/06/71/15/189806711510009215/1.jpg)
A.
B.
C.
D.1
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若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)n面體的直度為
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A.
B.
C.
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷
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(文科做)(本題滿分14分)如圖,在長(zhǎng)方體
ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
(1)證明:D1E⊥A1D;
(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面ACD1的距離;
(3)AE等于何值時(shí),二面角D1—EC-D的大小為
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051817464179682728/SYS201205181748160937398775_ST.files/image002.png)
(理科做)(本題滿分14分)
如圖,在直三棱柱ABC – A1B1C1中,∠ACB = 90°,CB = 1,
CA =
,AA1 =
,M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn),AM⊥BA1.
(Ⅰ)求證:AM⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角B – AM – C的大小;
(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面ABM的距離.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051817464179682728/SYS201205181748160937398775_ST.files/image005.jpg)
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