Question

已知函數f（x²+1）=x（x≥0）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）利用換元法求函數的解析式；
（2）判斷f（x）=

x-1

在[1，+∞）上是增函數，五步證明函數的單調性．

解答： 解：（1）令x²+1=t，t≥1，
則x=

t2-1

，
故f（t）=

t2-1

，
故f（x）=

x-1

，（x≥1）；
（2）f（x）=

x-1

在[1，+∞）上是增函數，
證明如下，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=

x1-1

-

x2-1

=

x1-x2

x1-1 + x2-1

；
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了函數的解析式的求法及函數的單調性的判斷與證明，屬于基礎題．