Question

某漁業(yè)公司今年年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起每年所需的費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元．
（1）這艘船用了n年，各種費用共支出了多少萬元？
（2）這n年的總盈利為多少萬元？
（3）n為多少時，總盈利最大？最大是多少？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加4萬元，可得這艘船用了n年，各種費用的支出和；
（2）該船每年捕撈的總收入為50萬元．可得該船投入捕撈n年后的贏利總額為50n-（2n²+10n+98），進(jìn)而可建立不等式，從而可求該船投入捕撈后第幾年開始贏利；
（3）對f（n）=50n-（2n²+10n+98）化簡，再進(jìn)行配方，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起每年所需的費用比上一年增加4萬元，
∴這艘船用了n年，各種費用共支出了98+12n+

n(n-1)

2

×4=2n²+10n+98萬元
（2）設(shè)該船投入捕撈后第n年開始贏利，
∵年該船每年捕撈的總收入為50萬元．
∴要使該船投入捕撈后第n年開始贏利，則50n-（2n²+10n+98）＞0
化簡得n²-20n+49＜0
解得10-

51

＜n＜10+

51

所以，第3年開始贏利；
（3）設(shè)該船投入捕撈n年后的贏利總額為f（n），則f（n）=50n-（2n²+10n+98）=-2n²+40n-98=-2（n-10）²+102
∴投入捕撈10年后贏利總額達(dá)到最大．

點評：本題考查的重點是函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用配方法求二次函數(shù)的最值．