Question

某漁業(yè)公司今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年起每年所需的費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該船每年捕撈總收入50萬(wàn)元．
（1）這艘船用了n年，各種費(fèi)用共支出了多少萬(wàn)元？
（2）這n年的總盈利為多少萬(wàn)元？
（3）n為多少時(shí)，總盈利最大？最大是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船，第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元，可得這艘船用了n年，各種費(fèi)用的支出和；
（2）該船每年捕撈的總收入為50萬(wàn)元．可得該船投入捕撈n年后的贏利總額為50n-（2n²+10n+98），進(jìn)而可建立不等式，從而可求該船投入捕撈后第幾年開(kāi)始贏利；
（3）對(duì)f（n）=50n-（2n²+10n+98）化簡(jiǎn)，再進(jìn)行配方，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年起每年所需的費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，
∴這艘船用了n年，各種費(fèi)用共支出了98+12n+

n(n-1)

2

×4=2n²+10n+98萬(wàn)元
（2）設(shè)該船投入捕撈后第n年開(kāi)始贏利，
∵年該船每年捕撈的總收入為50萬(wàn)元．
∴要使該船投入捕撈后第n年開(kāi)始贏利，則50n-（2n²+10n+98）＞0
化簡(jiǎn)得n²-20n+49＜0
解得10-

51

＜n＜10+

51

所以，第3年開(kāi)始贏利；
（3）設(shè)該船投入捕撈n年后的贏利總額為f（n），則f（n）=50n-（2n²+10n+98）=-2n²+40n-98=-2（n-10）²+102
∴投入捕撈10年后贏利總額達(dá)到最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用配方法求二次函數(shù)的最值．