Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），若數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：當k為奇數(shù)時，；
（Ⅲ）求證：（n∈N*）

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列，建立等式關系，化簡整理得得λ=2或λ=-3，當λ=2時，得a_n+1+2a_n=15•3^n-1①，當λ=-3時，得a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1②，①-②可求出a_n；
（II）當k為奇數(shù)時，作差變形得＜0，從而得到結論；
（III）由（Ⅱ）知k為奇數(shù)時，，討論n的奇偶，分別進行證明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n+1+λa_n}是等比數(shù)列
∴應為常數(shù)
∴得λ=2或λ=-3
當λ=2時，可得{a_n+1+2a_n}為首項是a₂+2a₁=15，公比為3的等比數(shù)列，
則a_n+1+2a_n=15•3^n-1①
當λ=-3時，{a_n+1-3a_n}為首項是a₂-3a₁=-10，公比為-2的等比數(shù)列，
∴a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1②
①-②得，a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ
（Ⅱ）當k為奇數(shù)時，=
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知k為奇數(shù)時，
①當n為偶數(shù)時，
②當n為奇數(shù)時，．
點評：本題主要考查了等比數(shù)列，以及利用作差法比較大小和分類討論的思想，屬于中檔題．