Question

用長為90 cm，寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成(如下圖)，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

答案：
解析：

探究：設容器高為x cm，容器的容積為V(x)cm3，則 　　V(x)＝x(90－2x)(48－2x) 　�。�4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)． 　　求V(x)的導數，得 　　(x)＝12x2－552x＋4 320 　�。�12(x2－46x＋360) 　�。�12(x－10)(x－36)． 　　令(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)． 　　當0＜x＜10時，(x)＞0，那么V(x)為增函數； 　　當10＜x＜24時，(x)＜0，那么V(x)為減函數． 　　因此，在定義域(0，24)內，函數V(x)只有當x＝10時取得最大值，其最大值為V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)． 　　所以當容器的高為10 cm時，容器的容積最大，最大容積為19 600 cm3． 　　規(guī)律總結：本題主要考查函數的概念，運用導數求函數最值的方法，以及運用數學知識建立簡單數學模型并解決實際問題的能力．實際應用問題要根據題目的條件，寫出相應關系式，是解決此類問題的關鍵．