Question

【題目】定義域為{x|x∈N* ， 1≤x≤12}的函數(shù)f（x）滿足|f（x+1）﹣f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比數(shù)列，若f（1）=1，f（12）=4，則滿足條件的不同函數(shù)的個數(shù)為 ．

Answer 1

【答案】176
【解析】解：根據(jù)題意，若|f（x+1）﹣f（x）|=1，則f（x+1）﹣f（x）=1和f（x+1）﹣f（x）=﹣1中， 必須且只能有1個成立，
若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比數(shù)列，
則f（4）=±2，
分2種情況討論：
①、若f（4）=﹣2，
在1≤x≤3中，f（x+1）﹣f（x）=﹣1都成立，
在4≤x≤11中，有1個f（x+1）﹣f（x）=﹣1，7個f（x+1）﹣f（x）=1成立，
則有C81=8種情況，即有8個不同函數(shù)；
②、若f（4）=2，
在1≤x≤3中，有1個f（x+1）﹣f（x）=﹣1成立，2個f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C31=3種情況，
在4≤x≤11中，有3個f（x+1）﹣f（x）=﹣1，5個f（x+1）﹣f（x）=1成立，有C83=56種情況，
則有3×56=168種情況，即有168個不同函數(shù)；
則一共有8+168=176個滿足條件的不同函數(shù)；
所以答案是：176．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值的相關(guān)知識點，需要掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題．