Question

過拋物線y²=4x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=8，O為坐標原點，則△OAB的重心的橫坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求得拋物線焦點坐標，進而設出過焦點的直線方程代入拋物線方程消去x，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂=，代入|AB|的表達式中即可求得k，進而根據三個定點的橫坐標求得△OAB的重心的橫坐標．
解答：解：由題意知拋物線焦點F（1，0），
設過焦點F（1，0）的直線為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入拋物線方程消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∵k²≠0，∴x₁+x₂=，x₁x₂=1．
∵|AB|====8，
∴k²=1．
∴△OAB的重心的橫坐標為x==2．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常涉及直線與圓錐曲線聯立消元后利用韋達定理解決問題．