Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

(a∈R)：
（Ⅰ）　是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？
（Ⅱ）　探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性（不用證明），并求出函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以f（0）=0，代入函數(shù)解析式即可解得a的值，再利用奇函數(shù)的定義證明此時(shí)的函數(shù)為奇函數(shù)即可；
（II）先利用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)法求此函數(shù)的值域即可

解答：解：（Ⅰ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

是奇函數(shù)，因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，
所以f（0）=a-1=0，所以a=1
此時(shí)f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，則f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數(shù)
即存在實(shí)數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-

2

2x+1

，因?yàn)?^x+1在R上遞增，所以

2

2x+1

在R上遞減，所以f(x)=1-

2

2x+1

在R上遞增．
∵2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的值域，分清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成是解決本題的關(guān)鍵