Question

函數(shù)y=a^2-x（a＞0且a≠1）的圖象過定點A，若點A的坐標滿足方程mx+ny=1（m，n＞0），則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：不等式的解法及應用

分析：函數(shù)y=a^2-x（a＞0且a≠1）的圖象過定點A（2，1），又點A的坐標滿足方程mx+ny=1（m，n＞0），可得2m+n=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵函數(shù)y=a^2-x（a＞0且a≠1）的圖象過定點A（2，1），
又點A的坐標滿足方程mx+ny=1（m，n＞0），
∴2m+n=1．
則

1

m

+

1

n

=（2m+n）(

1

m

+

1

n

)=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m × 2m n

=3+2

2

，當且僅當n=

2

m=

2

-1時取等號．
∴

1

m

+

1

n

的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．