Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當PD=

2

，AB=2且E為PB的中點時，求四面體P-ADE體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）根據面面垂直的判定定理，只須證明AC⊥平面PBD即可．
（II）VP-ADE=VE-PAD=

1

2

VB-PAD=

1

2

VP-ABD．由此利用等積法能求出四面體P-ADE體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，…．（1分）
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC，…．（3分）
∴AC⊥平面PDB，….4AC?平面AEC
∴平面AEC⊥平面PDB．…..（6分）
（Ⅱ）解：設AC∩BD=O，連接OE，…（7分）
∵O，E分別為DB、PB的中點，
∴OE∥PD，
∴OE∥平面PAD，…（8分）
∴V_P-ADE=V_E-PDA=V_O-PDA…．（9分）
S△PDA=

1

2

PD•DA=

2

…..（10分）
過O作OF⊥AD于F，則OF⊥平面PAD且OF=

2

2

…（11分）
∴VO-PDA=

1

3

S△PDA•OF=

1

3

•

2

•

2

2

=

1

3

∴四面體P-ADE體積為

1

3

…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．