Question

設(shè)f（x）=x³-2x²+2x，g（x）=a（10cosx+1）
（1）求f（sinx）的值域；
（2）若?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）+g（x₂）=2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得f（sinx）的值域；
（2）由于?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）+g（x₂）=2成立，則f（x₁）的值域是2-g（x₂）的值域的子集，對參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)的值域，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）令t=sinx，則t∈[-1，1]，∴f（t）=t³-2t²+2t，
∴f′（t）=3t²-4t+2=3（t-

2

3

）²+

2

3

＞0，
則函數(shù)f（t）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴當t=-1時，f（x）取得最小值-5，當t=1時，f（x）取得最大值1；
∴f（sinx）的值域為[-5，1]；
（2）∵f′（t）=3t²-4t+2＞0，
∴f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞增，
又f（-1）=-5，f（0）=0，則f（x）在[-1，0]上的值域為[-5，0]；
由x∈[0，

π

2

]得，1≤10cosx+1≤11，
∵?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）+g（x₂）=2成立，
∴f（x₁）的值域是2-g（x₂）的值域的子集，
當a＞0時，g（x₂）∈[a，11a]，2-g（x₂）∈[2-11a，2-a]，
∴

2-11a≤-5 2-a≥0 a＞0

，解得

7

11

≤a≤2；
當a=0時，顯然不符合題意；
當a＜0時，g（x₂）∈[11a，a]，2-g（x₂）∈[2-a，2-11a]，
∴

2-a≤-5 2-11a≥0 a＜0

，無解；
綜上，a的取值范圍是[

7

11

，2]．

點評：本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查學生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立問題加以解決，屬于中檔題．