Question

【題目】已知定義在（﹣1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（﹣1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）如果當(dāng)x∈（﹣1，0]時(shí)，有f（x）＜0，試判斷f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的判斷；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若a﹣8x+1＞0對(duì)滿足不等式f（x﹣ ）+f（ ﹣2x）＜0的任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題可知，函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)于f（x）+f（y）=f（x+y）．
令y=x=0，可得2f（0）=f（0），從而f（0）=0，
再令y=﹣x，可得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），
所以y=f（x）為（﹣1，1）上的奇函數(shù)；
（Ⅱ）y=f（x）為（﹣1，1）上單調(diào)遞增，
證明如下：
設(shè)x1、x2為區(qū)間（﹣1，0]上的任意兩個(gè)自變量的值，且x1＜x2 ，
則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1﹣x2）；
由于﹣1＜x1＜x2＜0，所以﹣1＜x1﹣x2≤0，從而f（x1﹣x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以y=f（x）為（﹣1，0]上單調(diào)遞增，
又由于y=f（x）為（﹣1，1）上的奇函數(shù)；
由奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得：y=f（x）為[0，1）上單調(diào)遞增，
故y=f（x）為（﹣1，1）上單調(diào)遞增，
（Ⅲ）根據(jù)題意，若f（x﹣ ）+f（ ﹣2x）＜0，
則有f（x﹣ ）＜f（2x﹣ ），
則必有 ，
解可得﹣ ＜x＜ ，
所以原問(wèn)題等價(jià)于a﹣8x+1＞0對(duì)于﹣ ＜x＜ 恒成立，
則必有a≥[8×（ ）﹣1]=4，即a≥4；
故a的取值范圍是[4，+∞）
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，先分析函數(shù)的定義域，可得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而令y=x=0，可得f（0）=0，再令y=﹣x，分析可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得答案；（Ⅱ）分析可得：y=f（x）為（﹣1，1）上單調(diào)遞增，進(jìn)而證明：先用定義法證明可得y=f（x）為（﹣1，0]上單調(diào)遞增，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得y=f（x）為（﹣1，0]上單調(diào)遞增，綜合可得答案；（Ⅲ）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性可得：若f（x﹣ ）+f（ ﹣2x）＜0，則必有 ，解可得x的范圍，所以原問(wèn)題等價(jià)于a﹣8x+1＞0對(duì)于﹣ ＜x＜ 恒成立，分析可得a的取值范圍，即可得答案．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．