Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（aπx）的圖象中至少有一個最高點和一個最低點同時在圓x²+y²=3的內(nèi)部，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接由圖象得到A和

T

4

的值，進(jìn)一步求出T的值，由周期公式求得ω，再由五點作圖的第三點得φ，則函數(shù)
f（x）的解析式可求；
（2）求出函數(shù)f（aπx）的解析式，由三角函數(shù)的圖象平移可知要滿足函數(shù)f（aπx）的圖象中至少有一個最高點和一個最低點同時在圓x²+y²=3的內(nèi)部，則需至少一個最低點（-

5

12a

，

2

）在圓x²+y²=3的內(nèi)部，由此列不等式(-

5

12a

)2+(

2

)2≤3求解正數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由圖可知，A=-

2

，

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
∴T=π，則

2π

ω

=π，ω=2．
由五點作圖的第三點得：2×

π

3

+φ=π，φ=

π

3

，符合|φ|＜

π

2

，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）；
（2）f（aπx）=

2

sin（2aπx+

π

3

），
該函數(shù)圖象是把y=sinx的圖象向左平移

π

3

個單位，然后把圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="skz7yij" class="MathJye">

1

2aπ

，
再把圖象上點的縱坐標(biāo)擴大到原來的

2

倍得到的，
∴要使函數(shù)f（aπx）的圖象中至少有一個最高點和一個最低點同時在圓x²+y²=3的內(nèi)部，
則需至少一個最低點（-

5

12a

，

2

）在圓x²+y²=3的內(nèi)部，
即(-

5

12a

)2+(

2

)2≤3，解得：a≤-

5

12

或a≥

5

12

，
∴正數(shù)a的取值范圍是[

5

12

，+∞）．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題（2）的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為至少一個最低點（-

5

12a

，

2

）在圓x²+y²=3的內(nèi)部，進(jìn)一步列不等式求解，是中檔題．