Question

16、已知f（x）=（x²+ax+a）e^-x（a≤2，x∈R）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）是否存在實數a，使f（x）的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入，對函數求導，分別解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，從而可求函數的單調區(qū)間
（2）先假設f（x）的極大值為3．仿照（1）研究函數的單調區(qū)間，由單調區(qū)間求出函數的極大值，結合條件進行判斷．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=（x²+x+1）e^-x；f′（x）=e^-x（-x²+x）（2分）
當f′（x）＞0時，0＜x＜1．當f′（x）＜0時x＞1或x＜0
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），
單調遞減區(qū)間為（-∞，0）（1，+∞）（4分）
（2）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]（6分）
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，列表如下：

由表可知f（x）_極大=f（2-a）=（4-a）e^a-2（8分）
設g（a）=（4-a）e^a-2，g′（a）=（3-a）e^a-2＞0（10分）
∴g（a）在（-∞，2）上是增函數，∴g（a）≤g（2）=2＜3∴（4-a）e^a-2≠3
∴不存在實數a使f（x）最大值為3．（12分）

點評：本題主要考查了導數的基本運用：由函數的導數的符號變化研究函數的單調區(qū)間與極值，試題的難度一般不大，屬于基礎試題
．而存在性問題常是先假設存在，再由假設推導，看是否產生矛盾．