Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+asinx--．
（1）當(dāng) 0≤x≤時(shí)，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，求a的值，并對(duì)此a值求f（x）的最小值；
（3）問(wèn)a取何值時(shí)，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+1--，
∵0≤x≤
∴0≤sinx≤1
令sinx=t，則f（t）=-t²+at+，t∈[0，1]
∴M（a）=．
（2）當(dāng)M（a）=2時(shí)，
或a=-2（舍）；
．
∴或a=-6．
①當(dāng)a=-6時(shí)，f（x）_min=-5；
②當(dāng)時(shí)，f（x）_min=-．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx
即-sin²x+asinx+1--=（1+a）sinx，
即=sin²x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin²x+sinx∈[，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有兩解．
∴∈（0，2）∪{-}，
∴-6＜a＜2或a=3．
分析：（1）用同角公式對(duì)f（x）化簡(jiǎn)得f（x）=-sin²x+asinx+1--，設(shè)sinx=t，則函數(shù)g（t）是開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為t=的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行討論得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表達(dá)式即可得出結(jié)果．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx．即=sin²x+sinx，x∈[0，2π）欲使方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有兩解．則必須∈（0，2）∪{-}，從而求出a的范圍即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)．在二次函數(shù)的性質(zhì)的使用的時(shí)候要特別注意對(duì)稱(chēng)軸的位置．