Question

已知四面體OABC中，OA、OB、OC兩兩相互垂直，，，D為四面體OABC外一點(diǎn)．給出下列命題：①不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形；②不存在點(diǎn)D，使四面體ABCD是正三棱錐；③存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并相等；④存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上．則其中正確命題的序號(hào)是（  ）
A.①②            B.②③            C.①③            D.③④

Answer 1

D

試題分析：

對(duì)于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=2，當(dāng)四棱錐CABD與四面體OABC一樣時(shí)，即取CD=3，AD=BD=2，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，此時(shí)點(diǎn)D，使四面體ABCD有三個(gè)面是直角三角形，故①不正確；對(duì)于②，由①知AC=BC=，AB=2，使AB=AD=BD，此時(shí)存在點(diǎn)D，CD=，使四面體C-ABD是正三棱錐，故②不正確；對(duì)于③，取CD=AB，AD=BD，此時(shí)CD垂直面ABD，即存在點(diǎn)D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確；對(duì)于④，先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可，∴存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確，故正確的命題有③④，故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題