Question

設(shè)A、B是橢圓C：3x²+y²=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)．
（I）求直線AB的方程，并確定λ的取值范圍；
（II）在x軸上存在一個(gè)點(diǎn)E，使△EAB為正三角形，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（I）利用點(diǎn)差法來求中點(diǎn)弦方程，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可化簡(jiǎn)，求出直線AB的斜率，再根據(jù)斜率和直線上的定點(diǎn)坐標(biāo)，寫出點(diǎn)斜式方程．再根據(jù)點(diǎn)N（1，3）在橢圓內(nèi)部，代入橢圓方程，小于λ，即可求出λ的范圍．
（II）因?yàn)椤鱁AB為正三角形，N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，所以線段AB的中垂線為EN，由因?yàn)镋點(diǎn)在x軸上，可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出EN長(zhǎng)，在正三角形中，中線是邊長(zhǎng)的

3

2

，可求出△EAB的邊長(zhǎng)，再用弦長(zhǎng)公式即可求出λ的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

3 x 2 1 + y 2 1 =λ 3 x 2 2 + y 2 2 =λ

⇒3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
依題意，x1≠x2， ∴kAB=-

3(x1+x2)

y1+y2

．
∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，從而k_AB=-1…4分直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，λ＞3×1²+3²=12．
∴λ的取值范圍是（12，+∞）．
（II）易得：線段AB的中垂線方程為：y=x+2，令y=0得：點(diǎn)E的人坐標(biāo)為（-2，0）
∴|EN|=

32+32

=3

2

．
又由|EN|=

3

2

|AB|得：
|AB|=

2

3

|EN|=2

6

．
∴|AB|=|x1-x2|

1+k2

=

△

|a|

1+k2

=

16(λ-12)

4

•

2

=

2λ-24

∴由

2λ-24

=2

6

得λ=24
∴此時(shí)橢圓的方程為：C：

x2

8

+

y2

24

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓相交時(shí)中點(diǎn)弦，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于常規(guī)題．