Question

（2013•韶關(guān)三模）某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ） 估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅲ） 從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，求這兩名學(xué)生的成績均不低于80分的概率．

Answer 1

分析：（I）利用頻率分布直方圖中的各組的頻率和等于1，求出第四小組的頻率，求出縱坐標，補全這個頻率分布直方圖即可．
（II）求出60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和；利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均值為各組的中點乘以各組的頻率和為平均值．
（Ⅲ）先算出分數(shù)在“[70，80），[80，90），[90，100]”的人數(shù)是18，15，3，利用組合知識得到從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人有C₃₆²，再利用分類計數(shù)原理求出這兩名學(xué)生的成績均不低于80分的種數(shù)，最后利用概率公式計算即可．

解答：解：（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1，
故第四組的頻率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3…（2分），
頻率分布直方圖第四小組的縱坐標是：

0.3

10

=0.03，
直方圖如右所示      …（4分）
（Ⅱ）依題意，60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為 （0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是75%       …（6分）
利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分45•f₁+55•f₂+65•f₃+75•f₄+85•f₅+95•f₆…（8分）
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估計這次考試的平均分是71（分）          …（9分）
（Ⅲ）在“[70，80），[80，90），[90，100]”上的人數(shù)分別是18，15，3．
所以從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，
這兩名學(xué)生的成績均不低于80（分）的概率P=

C 2 15 + C 2 3 + C 1 15 • C 1 3

C 2 36

=

17

70

…（12分）

點評：本題考查頻率分布直方圖、等可能事件的概率等．在頻率分布直方圖中，數(shù)據(jù)的平均值等于各組的中點乘以各組的頻率之和；頻率等于縱坐標乘以組距；屬于基礎(chǔ)題．