Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁＝2，公比為q(q為正整數(shù))，且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；數(shù)列{b_n}滿足2n²－(t＋b_n)n＋b_n＝0(t∈R，n∈N^*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)試確定t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；

(3)當{b_n}為等差數(shù)列時，對任意正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入2共b_k個，得到一個新數(shù)列{c_n}．設T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，試求滿足T_m＝2c_m+1的所有正整數(shù)m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)因為，所以，解得(舍)，則　3分 　　又，所以　4分 　　(2)由，得， 　　所以， 　　則由，得 　　而當時，，由(常數(shù))知此時數(shù)列為等差數(shù)列　8分 　　(3)因為，易知不合題意，適合題意　9分 　　當時，若后添入的數(shù)2＝cm+1，則一定不適合題意，從而cm+1必是數(shù)列中的某一項，則 　　即． 　　也就是， 　　易證k＝1，2，3，4不是該方程的解，而當n≥5時，成立，證明如下： 　　1．當n＝5時，，左邊＞右邊成立； 　　2．假設n＝k時，成立， 　　當n＝k＋1時， 　　≥(k＋1)2＋(k＋1)–1＋5k–k–3＝(k＋1)2＋(k＋1)–1＋k＋3(k–1) 　�。�(k＋1)2＋(k＋1)–1 　　這就是說，當n＝k＋1時，結論成立． 　　由1，2可知，時恒成立，故無正整數(shù)解． 　　綜上可知，滿足題意的正整數(shù)僅有m＝2．13分