如圖,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,M、N分別為AB、PC的中點(diǎn),(1)求證:MN⊥AB;(2)若平面PDC與平面ABCD成45°角.求證:平面MND⊥平面PDC.
(1)設(shè)正為PD的中點(diǎn),連結(jié)EN,AE.∵M、N、E分別為AB、PC、PD的中點(diǎn),∴EN,AM,∴ENAM,∴四邊形AMNE為平行四邊形,因此MN∥AE.又∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.又∵AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.∵AE平面PAD,∴AB⊥AE.由MN∥AE,∴MN⊥AB.(2)∵AB⊥平面ADP,∴CD⊥平面PAD,∴∠PDA為二面角的平面角,即,∴PA=AD,AE⊥PDD.∵MN∥AE,∴MN∥PD.又∵MN⊥CD,∴MN⊥面PDC.又MN 面MND,∴平面MND⊥平面PDC. |
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