Question

關(guān)于x的不等式ax²-|x+1|+3a≥0的解集為（-∞，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：將不等式恒成立進(jìn)行參數(shù)分類得到a≥

|x+1|

x2+3

，利用換元法將不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式的性質(zhì)，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出

|x+1|

x2+3

的最大值即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式ax²-|x+1|+3a≥0，
則a（x²+3）≥|x+1|，
即a≥

|x+1|

x2+3

，
設(shè)t=x+1，則x=t-1，
則不等式a≥

|x+1|

x2+3

等價(jià)為a≥

|x+1|

x2+3

=

|t|

(t-1)2+3

=

|t|

t2-2t+4

＞0
即a＞0，
設(shè)f（t）=

|t|

t2-2t+4

，
當(dāng)|t|=0，即x=-1時(shí)，不等式等價(jià)為a+3a=4a≥0，此時(shí)滿足條件，
當(dāng)t＞0，f（t）=

|t|

t2-2t+4

=

t

t2-2t+4

=

1

t+ 4 t -2

≤

1

2 t• 4 t -2

=

1

4-2

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

4

t

，
即t=2，即x=1時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)t＜0，f（t）=

|t|

t2-2t+4

=

-t

t2-2t+4

=

1

(-t)+( 4 -t )+2

≤

1

2 (-t)• 4 -t +2

=

1

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)-t=-

4

t

，
∴t=-2，即x=-3時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)x=1，即t=2時(shí)，f_max（t）=

|t|

t2-2t+4

=

1

2

，
∴要使a≥

|x+1|

x2+3

恒成立，則a≥

1

2

，
故答案為：[

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行等價(jià)化簡(jiǎn)，利用基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．