Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，E為PB中點，PB=4

2

．
（1）求證：PD∥面ACE；
（2）證明：BD⊥平面PAC；
（3）求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD交AC于O，連接EO，由已知得EO∥PD，由此能證明PD∥平面ACE．
（2）由已知得BD⊥AC，PA⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（3）取AB中點F，連接EF，由V_D-AEC=V_E-ADC，利用等積法能求出三棱錐D-AEC的體積．

解答： （1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，
因為ABCD為正方形，所以O(shè)為BD中點，又E為PB中點，
所以EO∥PD，又EO?平面ACE，PD不包含于平面ACE，
所以PD∥平面ACE．
（2）證明：因為ABCD為正方形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，又PA∩AC=C，
所以BD⊥平面PAC．
（3）解：因為PA⊥平面ABCD，
在直角三角形PAB中，PA=

PB2-AB2

=4，
取AB中點F，連接EF，所以EF∥PA，EF=

1

2

PA=2，
所以EF⊥平面ABCD，即EF為三棱錐E-ADC的高，
V_D-AEC=V_E-ADC=

1

3

S△ADC•EF=

1

3

•

1

2

•4•4•2=

16

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．