Question

過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線 于P，Q兩點(diǎn)，現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿直線y= -x折成直二面角，則折后PQ長(zhǎng)度的最小值等于

A． B．4 C． D．

 

Answer 1

B

【解析】

試題分析：∵雙曲線是等軸雙曲線，以直線y=±x為漸近線

∴將雙曲線按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°角，可得雙曲線的圖象

∵雙曲線的頂點(diǎn)（，0），逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°

變?yōu)辄c(diǎn)（，）

∴點(diǎn)（，）在的圖象上，可得m=，

即雙曲線按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°角，得到雙曲線的圖象

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)

將坐標(biāo)平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值

設(shè)P（t，）（t＞0），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，連結(jié)MQ，

可得M（0，），Q（-t，-），

|MQ|==，在折疊后的圖形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，

得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=≥=16，

當(dāng)且僅當(dāng)t2=4，即t=2時(shí)等號(hào)成立，

∴當(dāng)t=2時(shí)，即P坐標(biāo)為（2，）時(shí)，|PQ|的最小值為=4．

綜上所述，折后線段PQ的長(zhǎng)度的最小值等于4，故選B．

考點(diǎn)： 兩點(diǎn)間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)、勾股定理，基本不等式求最值，邏輯推理能力，運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想