Question

（2013•聊城一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于點(diǎn)Q（1，0）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，可得a2=

4

3

b2，利用橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切，可得b=

3

，從而可求橢圓的方程；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出直線AE的方程，令y=0，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

4

∴a2=

4

3

b2
∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
∴b=

3

∴a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)方程為y=k（x-4）代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0
設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），
∴x₁+x₂=

32k2

4k2+3

，x₁x₂=

64k2-12

4k2+3

又直線AE的方程為y-y₂=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)
令y=0，則x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

=

2x1x2-8(x1+x2)

x1+x2-8

=1
∴直線AE過x軸上一定點(diǎn)Q（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解