Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，a∈R．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=-

a

x

．若至少存在一個(gè)x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用求極值的方法，先求導(dǎo)，再判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，然后判斷是否存在極值；
（2）求含有參數(shù)的f（x）的單調(diào)區(qū)間，需要分類討論；   
（3）本命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設(shè)F（x）=f（x）-g（x），F(xiàn)（x）_min=F（1）=0，從而求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-

1

x

-2lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

x-1

x

)2≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）不存在極值．
（2）函數(shù)f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′(x)=a(1+

1

x2

)-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
當(dāng)a≤0時(shí)，
∵f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＞0時(shí)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程f'（x）=0與方程ax²-2x+a=0有相同的實(shí)根，△=4-4a²=4（1-a²），
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△＞0，可得x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

，且0＜x₁＜x₂，
∴x∈（0，x₁）時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞增；       
∴x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；     
∴x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；   
②當(dāng)a≥1時(shí)，△≤0，∴f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1- 1-a2

a

)與(

1+ 1-a2

a

，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)；
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
（3）由存在一個(gè)x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
得ax₀＞2lnx，即a＞

lnx0

x0

，
令F（x）=

2lnx

x

，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，a＞F（x）_min”，
∵F′(x)=

2(1-lnx)

x2

，且當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，
∴F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
故F（x）_min=F（1）=0，
因此a＞0．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．